傅里叶变换公式

傅里叶变换公式详解

傅里叶变换：F(ω) = ∫_{-∞}^{+∞} f(t)e^{-iωt} dt

逆变换：f(t) = (1/2π) ∫_{-∞}^{+∞} F(ω)e^{iωt} dω

傅里叶变换将时域信号分解为不同频率的正弦波叠加，广泛应用于信号处理、图像处理、通信、物理等领域。

离散傅里叶变换(DFT)：X[k]=Σₙ₌₀^{N-1} x[n]e^{-i2πkn/N}，FFT是其快速算法。

帕塞瓦尔定理：∫|f(t)|²dt = (1/2π)∫|F(ω)|²dω，时域能量=频域能量。

常见问题

Q：傅里叶变换和拉普拉斯变换什么区别？

A：傅里叶变换是沿虚轴的拉普拉斯变换（s=iω）。傅里叶变换要求绝对可积，拉普拉斯变换条件更宽松。

Q：为什么逆变换有1/(2π)？

A：这是归一化因子，保证正逆变换互逆。也有定义将√(1/2π)分给正逆变换各一个。

Q：FFT是什么？

A：快速傅里叶变换(FFT)是DFT的快速算法，复杂度从O(N²)降到O(N log N)，是数字信号处理的核心。